Question

12．数列a_n=2ⁿ⁺¹，其前n项和为T_n，若不等式nlog₂（T_n+4）-λ（n+1）+7≥3n对一切n∈N^*恒成立，则实数λ的取值范围为（　　）

• A． λ≤3
• B． λ≤4
• C． 2≤λ≤3
• D． 3≤λ≤4

Answer 1

分析 不等式nlog₂（T_n+4）-λb_n+7≥3n化为n²-n+7≥λ（n+1），可得λ≤$\frac{{n}^{2}-n+7}{n+1}$对一切n∈N^*恒成立，利用不等式，即可得出结论．

解答 解∵a_n=2ⁿ⁺¹，
∴T_n=$\frac{4（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2ⁿ⁺²-4．
不等式nlog₂（T_n+4）-λ（n+1）+7≥3n化为n²-n+7≥λ（n+1），
∵n∈N^*，
∴λ≤$\frac{{n}^{2}-n+7}{n+1}$对一切n∈N^*恒成立．
而$\frac{{n}^{2}-n+7}{n+1}$=$\frac{（n+1）^{2}-3（n+1）+9}{n+1}$=（n+1）+$\frac{9}{n+1}$-3≥2$\sqrt{（n+1）•\frac{9}{n+1}}$-3=3，
当且仅当n+1=$\frac{9}{n+1}$即n=2时等号成立，
∴λ≤3，
故选：A．

点评 本题考查数列的通项于求和，突出考查基本不等式的运用，考查运算、分析、求解的能力，属于中档题．