Question

20．若动点P到点$F（{0，-\frac{1}{4}}）$的距离比它到直线$y=\frac{5}{4}$的距离小1．
（1）求点P的轨迹E的方程；
（2）若直线y=mx-4与轨迹E交于A、B两点，且$|AB|=3\sqrt{6}$．求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）转化题中的条件，应用抛物线的定义求出点P的轨迹方程．
（2）联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理通过弦长公式求解即可．

解答 解：：（1）据题意可知，点P（x，y）到直线y=$\frac{1}{4}$的距离等于它到点F（0，$-\frac{1}{4}$）的距离，
所以点P的轨迹是以点F（0，-$\frac{1}{4}$）为交点，直
线y=$\frac{1}{4}$为准线的抛物线．（3分）
因为p=$\frac{1}{2}$，抛物线开口向下，故
点P的轨迹方程是x²=-y．
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=mx-4}\\{{x}^{2}=-y}\end{array}\right.$，可得：x²+mx-4=0
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=-m，x₁x₂=-4，
|AB|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{1+{m}^{2}}•\sqrt{{m}^{2}+16}$=3$\sqrt{6}$，
解得m=$±\sqrt{2}$．

点评 本题考查用定义法求轨迹方程，直线与抛物线的位置关系综合应用，体现转化的数学思想．