Question

5．已知椭圆的长轴长为6，离心率为$\frac{1}{3}$，F₂为椭圆的右焦点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）点M在圆x²+y²=8上，且M在第一象限，过M作圆x²+y²=8的切线交椭圆于P，Q两点，判断△PF₂Q的周长是否为定值并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可知：2a=6，$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{3}$，求得a和c的值，由b²=a²-c²，求得b，写出椭圆方程；
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），分别求出|F₂P|，|F₂Q|，结合相切的条件可得|PM|²=|OP|²-|OM|²，可得$|{P{F_2}}|+|{PM}|=3-\frac{1}{3}{x_1}+\frac{1}{3}{x_1}=3$，同理|QF₂|+|QM|=3，即可证明；

解答 解：（I）根据已知，设椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，
∴2a=6，a=3，$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{3}$，c=1；
b²=a²-c²=8，
$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1$（4分）
（II）△PF₂Q的周长是定值，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则$\frac{x_1^2}{9}+\frac{y_1^2}{8}=1$，
$|{P{F_2}}|=\sqrt{{{（{{x_1}-1}）}^2}+y_1^2}=\sqrt{{{（{{x_1}-1}）}^2}+8（1-\frac{x_1^2}{9}）}=\sqrt{{{（\frac{x_1}{3}-3）}^2}}$，
∵0＜x₁＜3，
∴$|{P{F_2}}|=3-\frac{x_1}{3}$，（7分）
在圆中，M是切点，
∴$|{PM}|=\sqrt{|OP{|^2}-|OM{|^2}}=\sqrt{x_1^2+y_1^2-8}=\sqrt{x_1^2+8（1-\frac{x_1^2}{9}）-8}=\frac{1}{3}{x_1}$，（11分）
∴$|{P{F_2}}|+|{PM}|=3-\frac{1}{3}{x_1}+\frac{1}{3}{x_1}=3$，
同理|QF₂|+|QM|=3，（13分）
∴|F₂P|+|F₂Q|+|PQ|=3+3=6，
因此△PF₂Q的周长是定值6．…（14分）

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、直线与圆相切性质、勾股定理、三角形的周长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．