Question

设x，y∈（0，2]，且xy=2，若6-2x-y≥a（2-x）（4-y）恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A、（

  1

  2

  ，1]
• B、（-∞，1]
• C、[0，2）
• D、（-∞，-1]

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：不等式的解法及应用

分析：求参数的取值范围，采用分离参数法然后对关系式进行恒等变形，利用要使a≤f（x）恒成立，只需满足a≤f（x）_min 即可．

解答： 解：∵x，y∈（0，2]，∴（2-x）（4-y）＞0  设 f（x）=

6-2x-y

(2-x)(4-y)

  
要使6-2x-y≥a（2-x）（4-y）恒成立，只需满足a≤f（x）_min 即可 
由于xy=2  f（x）=

6-2x-y

(2-x)(4-y)

=

6-2x- 2 x

10-4x- 4 x

=

(x+ 1 x )-3

2(x+ 1 x )-5

设x+

1

x

=t   则f（t）=

t-3

2t-5

进一步分离常数得到f（t）=

1

2

-

1 2

2t-5

，当t取最小值时，f（t）取得最小值
由于 x+

1

x

=t，利用均值不等式x+

1

x

≥2  即x=1等号成立
f（x）_min=f（1）=1
即a≤1
 故选：B

点评：本题在解答的过程中利用到分离参数法，代数式的恒等变形问题，以及均值不等式等知识，要求要有较好的运算能力