题目内容
6．
2016年里约奥运会和残奥会吉祥物的名字于2015年12月14日揭晓，两个吉祥物分别叫维尼修斯（Vinicius）和汤姆（Tom）（如图），以此纪念巴萨诺瓦曲风的著名音乐家Viniciusde Moraes和Tom Jobim．某商场在抽奖箱中放置了除图案外，其它无差别的8张卡片，其中2张印有“维尼修斯（Vinicius）”图案，n（2≤n≤4）张印有“汤姆（Tom）”图案，其余卡片上印有“2016年里约奥运会”的图案，从抽奖箱中任意抽取两张卡片，两张卡片图案相同的概率是$\frac{1}{4}$．（1）求n的值；
（2）规定每次从中不放回地抽取一张卡片，若抽取到印有“维尼修斯（Vinicius）”或者印有“汤姆（Tom）”图案的卡片，则结束抽奖，用随机变量ξ表示抽奖次数，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）．
分析 （1）由已知，得n2-6n+9=0，由此能求出n．
（2）由已知得ξ的可能取值为1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．
解答 解：（1）∵8张卡片，其中2张印有“维尼修斯（Vinicius）”图案，n（2≤n≤4）张印有“汤姆（Tom）”图案，
其余卡片上印有“2016年里约奥运会”的图案，从抽奖箱中任意抽取两张卡片，两张卡片图案相同的概率是$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{{C}_{2}^{2}+{C}_{n}^{2}+{C}_{8-2-n}^{2}}{{C}_{8}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，
整理，得n2-6n+9=0，
解得n=3．
（2）由已知得ξ的可能取值为1，2，3，4，
P（ξ=1）=$\frac{5}{8}$，
P（ξ=2）=$\frac{3}{8}×\frac{5}{7}=\frac{15}{56}$，
P（ξ=3）=$\frac{3}{8}×\frac{2}{7}×\frac{5}{6}$=$\frac{5}{56}$，
P（ξ=4）=$\frac{3}{8}×\frac{2}{7}×\frac{1}{6}×\frac{5}{5}$=$\frac{1}{56}$，
∴ξ的分布列为：
| ξ | 1 | 2 | 3 | 4 |
| P | $\frac{5}{8}$ | $\frac{15}{56}$ | $\frac{5}{56}$ | $\frac{1}{56}$ |
点评 本题考查概率的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立的概率乘法公式的合理运用．
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