题目内容

1．已知（1+x+x3）n=a0+a1x+a2x2+…+a3nx3n，求
（1）a1+a2+…+a3n
（2）a1+2a2+3a3+…+3na3n．

分析 （1）用赋值法，令x=0求出a0的值，再令x=1求出a1+a2+…+a3n的值；
（2）对（1+x+x3）n=a0+a1x+a2x2+…+a3nx3n两边求导数，再用赋值法即可求出结果．

解答 解：（1）∵（1+x+x3）n=a0+a1x+a2x2+…+a3nx3n，
令x=0，得a0=1；
令x=1，得a0+a1+a2+…+a3n=3n，
∴a1+a2+…+a3n=3n-1；
（2）∵（1+x+x3）n=a0+a1x+a2x2+…+a3nx3n，
两边取导数，得：
n（1+x+x3）•（1+3x2）=a1+2a2x+3a3x2+…+3na3nx3n-1，
令x=1，得n•（1+1+1）•（1+3）=a1+2a2+3a3+…+3na3n，
即a1+2a2+3a3+…+3na3n=12n．

点评 本题主要考查二项式定理与导数的应用问题，利用赋值法是解决本题的关键．

练习册系列答案
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