Question

9．已知双曲线$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$，以C的右焦点F为圆心，以a为半径的圆与C的一条渐近线交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则双曲线C的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{7}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{6}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根据直线和圆相交时的弦长公式结合双曲线离心率的公式进行转化求解即可．

解答 解：∵双曲线的一个焦点为F（c，0），双曲线的一条渐近线为y=$\frac{b}{a}$x，即bx-ay=0，
∴焦点到渐近线的距离d=$\frac{|bc|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=b，
∵|AF|=|BF|=a，△ABF为等边三角形，
∴|AB|=2|AD|=2$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=a，
平方得4（a²-b²）=a²，
即a²-c²+a²=$\frac{1}{4}$a²，
则$\frac{7}{4}$a²=c²，
即离心率e=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
故选：A

点评 本题主要考查双曲线离心率的计算，根据直线和圆相交的弦长公式建立方程关系是解决本题的关键．