Question

14．某高校一专业在一次自主招生中，对20名已经选拔入围的学生进行语言表达能力和逻辑思维能力测试，结果如表：

语言表达能力 人数 逻辑思维能力	一般	良好	优秀
一般	2	2	1
良好	4	m	1
优秀	1	3	n

由于部分数据丢失，只知道从这20名参加测试的学生中随机抽取一人，抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生的概率为$\frac{2}{5}$．
（1）从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，求其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生的概率；
（2）从参加测试的20名学生中任意抽取2名，设语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数为X，求随机变量X的分布列及其均值．

Answer 1

分析 （1）语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生共有（6+n）名，由题意得$\frac{6+n}{20}=\frac{2}{5}$，从而n=2，m=4，由此利用对立事件概率计算公式能求出从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，其中至少有一名逻辑能力优秀的学生．
（Ⅱ）随机变量X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及E（X）．

解答 解：（1）用A表示“从这20名参加测试的学生中随机抽取一人，抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生”，
∵语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生共有（6+n）名，
∴P（A）=$\frac{6+n}{20}=\frac{2}{5}$，解得n=2，
∴m=4，
用B表示“从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，其中至少有一名逻辑能力优秀的学生”，
∴P（B）=1-$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{9}^{2}}$=$\frac{7}{12}$．
（Ⅱ）随机变量X的可能取值为0，1，2，
∵20名学生中，语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数共有名，
∴P（X=0）=$\frac{{C}_{12}^{2}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{33}{95}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{8}^{1}{C}_{12}^{1}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{48}{95}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{8}^{2}}{{C}_{26}^{2}}$=$\frac{14}{95}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2
P	$\frac{33}{95}$	$\frac{48}{95}$	$\frac{14}{95}$

E（X）=$0×\frac{33}{95}+1×\frac{48}{95}+2×\frac{14}{95}$=$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．