Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足c=1，且cosBsinC+（a-sinB）cos（A+B）=0
（1）求C的大小；
（2）求a²+b²的最大值，并求取得最大值时角A，B的值．

Answer 1

考点：余弦定理的应用

专题：三角函数的求值,解三角形

分析：（1）利用三角形的内角转化为A的三角函数，利用两角和的正弦函数求解结合正弦定理求出表达式，求出结合即可．
（2）由余弦定理以及基本不等式求解最值即可．

解答： 解：（1）cosBsinC+（a-sinB）cos（A+B）=0
可得：cosBsinC-（a-sinB）cosC=0
即：sinA-acosC=0．
由正弦定理可知：

a

sinA

=

c

sinC

，
∴

asinC

c

-acosC=0，
∴asinC-acosC=0，
sinC-cosC=0，可得

2

sin（C-

π

4

）=0，C是三角形内角，
∴C=

π

4

．
（2）由余弦定理可知：c²=a²+b²-2abcosC，
得1=a²+b²-

2

ab
又ab≤

a2+b2

2

，
∴(1-

2

2

)(a2+b2)≤1，
即：a2+b2≤2+

2

．
当A=B=

3

8

π时，a²+b²取到最大值为2+

2

．

点评：本题考查三角形的最值，余弦定理的应用，正弦定理的应用，考查计算能力．