Question

已知函数f（x）=sin（ωx-

π

6

）（ω＞0）和g（x）=cos（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象的对称轴相同．
（1）求满足题意的ω，φ的值；
（2）求F（x）=f（x）-g（x）的单调增区间．

Answer 1

考点：正弦函数的单调性,正弦函数的对称性

专题：三角函数的求值

分析：（1）根据两个函数的周期性同求出ω，当2x-

π

6

=

π

2

时，f（x）取得最大值，此时，g（x）=cos（

2π

3

+φ）取得最大值或最小值，结合φ的范围，求出φ的值．
（2）由（1）利用三角函数的恒等变换可得F（x）=2sin（2x-

π

6

），再利用正弦函数的单调性，求得函数F（x）的增区间．

解答： 解：（1）由题意可得两个函数f（x） 和g（x）的周期一样，∴

2π

ω

=

2π

2

，∴ω=2，∴函数f（x）=sin（2x-

π

6

）．
当2x-

π

6

=

π

2

，即x=

π

3

时，f（x）取得最大值，此时，g（x）=cos（

2π

3

+φ）取得最大值或最小值，
∴

2π

3

+φ=kπ，k∈z．
结合0＜φ＜π，可得φ=

π

3

．
综上可得，ω=2，φ=

π

3

．
（2）由（1）可得f（x）=sin（2x-

π

6

），g（x）=cos（2x+

π

3

），
F（x）=f（x）-g（x）=sin（2x-

π

6

）-cos（2x+

π

3

）=sin2xcos

π

6

-cos2xsin

π

6

-cos2xcos

π

3

+sin2xsin

π

3

=

3

sin2x-cos2x=2sin（2x-

π

6

）．
令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，
故函数F（x）的增区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈z．

点评：本题主要考查三角函数的图象的对称性，三角函数的恒等变换，正弦函数的单调性，属于中档题．