Question

已知直线l过点P（4，1），且与x，y的正半轴交于点A，B，其中O为坐标原点．
（1）求直线l的方程，使△OAB的面积最小；
（2）求直线l的方程，是直线在两坐标上的截距之和最小；
（3）求|PA|•|PB|最小时，直线l的方程．

Answer 1

考点：直线的一般式方程

专题：直线与圆

分析：（1）设A（a，0），B（0，b），a，b＞0．则直线l的方程为：

x

a

+

y

b

=1，由于直线l过点P（4，1），可得

4

a

+

1

b

=1．利用基本不等式的性质即可得出．
（2）由（1）可得：

4

a

+

1

b

=1，a，b＞0．a+b=(a+b)(

4

a

+

1

b

)=5+

4b

a

+

a

b

，再利用基本不等式的性质即可得出．
（3）由

4

a

+

1

b

=1，a，b＞0．可得b=

a

a-4

＞0，（a＞4）．设t=|PA|•|PB|，则t²=[（a-4）²+1]•[16+（b-1）²]=[（a-4）²+1]•[16+(

4

a-4

)2]，设（a-4）²=m＞0，则t²=(m+1)(16+

16

m

)=32+16(m+

1

m

)，利用基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：（1）设A（a，0），B（0，b），a，b＞0．
则直线l的方程为：

x

a

+

y

b

=1，
∵直线l过点P（4，1），
∴

4

a

+

1

b

=1．
∴1≥2

4 a • 1 b

，化为ab≥16，当且仅当a=4b=8时取等号．
∴△OAB的面积=

1

2

ab≥8．
∴取等号时直线l的方程为：

x

8

+

y

2

=1．
（2）由（1）可得：

4

a

+

1

b

=1，a，b＞0．
∴a+b=(a+b)(

4

a

+

1

b

)=5+

4b

a

+

a

b

≥5+2

4b a • a b

=9，当且仅当a=2b=6时取等号．
此时直线l的方程为：

x

6

+

y

3

=1．
（3）由

4

a

+

1

b

=1，a，b＞0．可得b=

a

a-4

＞0，（a＞4）．
设t=|PA|•|PB|，
则t²=[（a-4）²+1]•[16+（b-1）²]
=[（a-4）²+1]•[16+(

4

a-4

)2]
设（a-4）²=m＞0，
则t²=(m+1)(16+

16

m

)=32+16(m+

1

m

)≥32+16×2

m× 1 m

=64，
当且仅当m=1，即a=5，b=5时取等号．
此时直线l的方程为：x+y=5．

点评：本题考查了直线的截距式、基本不等式的性质、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．