Question

16．?x∈R，e^x≥ax+b，则实数a，b的乘积a•b的最大值为（　　）

• A． $\frac{e}{2}$
• B． 2
• C． 1
• D． $\frac{e}{3}$

Answer 1

分析 由题意：令f（x）=e^x，设f（x）上一点坐标为P（x₀，e${\;}^{{x}_{0}}$），则f'（x）=e^x，所以k=e${\;}^{{x}_{0}}$，所以切线方程为：y-e${\;}^{{x}_{0}}$=e${\;}^{{x}_{0}}$（x-x₀），整理得：y=e${\;}^{{x}_{0}}$x+（1-x₀）e${\;}^{{x}_{0}}$，求出a、b，f（x）=ab，令f'（x）=0，求出a•b的最大值即可

解答 解：由题意：令f（x）=e^x，设f（x）上一点坐标为P（x₀，e${\;}^{{x}_{0}}$），
则f'（x）=e^x，所以k=e${\;}^{{x}_{0}}$，
∴切线方程为：y-e${\;}^{{x}_{0}}$=e${\;}^{{x}_{0}}$（x-x₀），
整理得：y=e${\;}^{{x}_{0}}$x+（1-x₀）e${\;}^{{x}_{0}}$，
∴a=e${\;}^{{x}_{0}}$，b=（1-x₀）e${\;}^{{x}_{0}}$，
令f（x）=ab=（1-x）e^2x，
那么：f'（x）=-e^2x+2（1-x）e^2x=（1-2x）e^2x，
令f'（x）=0，解得：极大值点：x=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）_max=$\frac{e}{2}$．
故选A．

点评 本题主要考查了函数的单调性，以及利用导数求闭区间上函数的最值的应用，渗透了分类讨论思想，属于中档题