Question

11．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax²-bx（a，b∈R），若y=f（x）图象上的点（1，-$\frac{11}{3}$）处的切线斜率为-4，
（1）求f（x）的解析式．
（2）求y=f（x）的极大值．

Answer 1

分析 （1）根据导数的几何意义即可求出函数的解析式，
（2）根据导数和函数的极值的关系即可求出．

解答 解：（1）f′（x）=x²+2ax-b，
∴由题意可知：f′（1）=-4且f（1）=-$\frac{11}{3}$
即$\left\{\begin{array}{l}{1+2a-b=-4}\\{\frac{1}{3}+a-b=-\frac{11}{3}}\end{array}\right.$       解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，∴f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²-3x
（2）f′（x）=x²-2x-3=（x+1）（x-3）
令f′（x）=0，得x₁=-1，x₂=3，
当f′（x）＞0，即x＜-1或x＞3，函数单调递增，
当f′（x）＜0，即-1＜x＜3，函数单调递减，
∴当x=-1时，f（x）取极大值$\frac{5}{3}$．

点评 本题考查了导数的几何意义和导数和函数极值的关系，属于中档题．