Question

13．（1）如图1，在平行四边形ABCD中，点E是对角线DB的延长线上一点，且OB=BE．记$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a\;，\;\overrightarrow{AD}=\overrightarrow b$，试用向量$\overrightarrow a\;，\;\overrightarrow b$表示$\overrightarrow{AE}$．
（2）若正方形ABCD边长为1，点P在线段AC上运动，求$\overrightarrow{AP}•（\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PD}）$的取值范围．
（3）设$\overrightarrow{OA}=\;\overrightarrow a，\;\overrightarrow{OB}=\overrightarrow b$，已知$\overrightarrow a•\overrightarrow b=|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|=2$，当△AOB的面积最大时，求∠AOB的大小．

Answer 1

分析 （1）方法一：由向量的减法及加法运算，求得$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{OE}$，代入即可求得$\overrightarrow{AE}$；
方法二：利用加法的平行四边形法则，$\overrightarrow{AO}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$），$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{AE}$），则$\overrightarrow{AE}$=2$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AO}$；
（2）建立直角坐标，根据向量的坐标表示，二次函数的性质，即可求得$\overrightarrow{AP}•（\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PD}）$的取值范围；
（3）由||²+|$\overrightarrow{b}$|²=8，设||=2$\sqrt{2}$cosθ，|$\overrightarrow{b}$|=2$\sqrt{2}$sinθ；这样便可得出S_△AOB=2sin2θsin∠AOB，从而sin2θ=1时△AOB的面积最大，这样由$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=2即可得到cos∠AOB=$\frac{1}{2}$，从而便可得出∠AOB的大小．

解答 解：（1）由$\overrightarrow{DB}$=$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{AO}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$）=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），
由O为BD的中点，且OB=BE．则DB=OE，
∴$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{OE}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）+$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{AE}$=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$，．
方法二：由向量加法的平行四边形法则可知：$\overrightarrow{AO}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$）=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），
由OB=BE．则$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{AE}$），
则$\overrightarrow{AE}$=2$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AO}$=2$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{AE}$=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$．
（2）解：以AB，AC 为x，y轴建立直角坐标系则
A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1）
设P（x，x）（0≤x≤1），$\overrightarrow{AP}$=（x，x），$\overrightarrow{PD}$=（1-x，-x）
∴$\overrightarrow{AP}$=（-x，1-x），
$\overrightarrow{AP}•（\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PD}）$=2x（1-2x）=-4（x-$\frac{1}{4}$）²+4（0≤x≤1）
∴当x=$\frac{1}{4}$时，函数有最大值$\frac{1}{4}$；当x=1时函数有最小值-2
∴$\overrightarrow{AP}•（\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PD}）$的取值范围[-2，$\frac{1}{4}$]，
（3）根据条件|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|²=|$\overrightarrow{a}$|²-4+|$\overrightarrow{b}$|²=4；
∴||²+|$\overrightarrow{b}$|²=8；
∴设||=2$\sqrt{2}$cosθ，|$\overrightarrow{b}$|=2$\sqrt{2}$sinθ；
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$|||$\overrightarrow{b}$|sin∠AOB=2sin2θsin∠AOB；
∴sin2θ=1时，△AOB的面积最大；
∴此时，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$丨•丨$\overrightarrow{b}$|cos∠AOB=4sin2θcos∠AOB=4cos∠AOB=2；
∴cos∠AOB=$\frac{1}{2}$；
∴∠AOB=$\frac{π}{3}$，
∴∠AOB为$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查向量的坐标运算，平面向量加法及减法运算，考查计算能力，属于中档题．