Question

6．已知曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（$\frac{π}{4}$+θ）=2$\sqrt{2}$
（1）将曲线C上各点的纵坐标伸长为原来的两倍，得到曲线C₁，写出曲线C₁的极坐标方程．
（2）若射线θ=$\frac{π}{6}$与l的交点分别为A，射线θ=-$\frac{π}{6}$与l的交点分别为B，求△OAB的面积．

Answer 1

分析 （1）设曲线C₁上的任意一点（x，y），则$（x，\frac{y}{2}）$在曲线C上，可得参数方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$，消去参数可得直角坐标方程，利用互化公式可得极坐标方程．
（2）射线θ=$\frac{π}{6}$与射线θ=-$\frac{π}{6}$分别代入直线l的极坐标方程可得ρ₁，ρ₂，利用△OAB的面积S=$\frac{1}{2}$ρ₁•ρ₂sin$\frac{π}{3}$即可得出．

解答 解：（1）设曲线C₁上的任意一点（x，y），则$（x，\frac{y}{2}）$在曲线C上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{\frac{y}{2}=sinθ}\end{array}\right.$，可得参数方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$，
消去参数可得直角坐标方程：x²+y²=4．
化为极坐标方程：ρ²=4，即ρ=2．
（2）射线θ=$\frac{π}{6}$代入直线l的极坐标方程ρsin（$\frac{π}{4}$+θ）=2$\sqrt{2}$，
可得ρ₁=$\frac{2\sqrt{2}}{sin（\frac{π}{6}+\frac{π}{4}）}$=$\frac{2\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}}$=4$（\sqrt{3}-1）$．
射线θ=-$\frac{π}{6}$代入直线l的极坐标方程为ρsin（$\frac{π}{4}$+θ）=2$\sqrt{2}$，
可得ρ₂=$\frac{2\sqrt{2}}{sin（\frac{π}{4}-\frac{π}{6}）}$=$\frac{2\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}$=4$（\sqrt{3}+1）$．
∠AOB=$\frac{π}{3}$．
∴△OAB的面积S=$\frac{1}{2}$ρ₁•ρ₂sin$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$×$4（\sqrt{3}-1）$×4（$\sqrt{3}$+1）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=8$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、坐标变换、参数方程化为普通方程及其应用、极坐标的应用、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．