Question

已知直线l：x+y+m=0（m∈R）与圆C：x²+y²+2x+4y-4=0相交于A、B两点．
（1）若|AB|﹦2，求m的值；
（2）是否存在实数m，使得以AB为直径的圆经过原点O？若存在，请求出这样的m；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）圆的方程化为标准方程，求出圆心与半径，由|AB|﹦2，可得直线l：x+y+m=0过圆心，即可求出m的值；
（2）假设存在实数m，使得以线段AB为直径的圆经过坐标原点，则k_OA•k_OB=-1，即x₁x₂+y₁y₂=0，整理后代入根与系数关系求解实数m的值．

解答： 解：（1）圆C：x²+y²+2x+4y-4=0可化为：（x+1）²+（y+2）²=1，
∴圆心C（-1，-2），半径为1，
∵|AB|﹦2，
∴直线l：x+y+m=0过圆心，
∴-1-2+m=0，
∴m=3；
（2）记A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
假设存在实数m，使得以线段AB为直径的圆经过坐标原点，
则k_OA•k_OB=-1，即x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x₁x₂+（-x₁-m）（-x₂-m）=0，
即2x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²=0，
直线l：x+y+m=0（m∈R）与圆C：x²+y²+2x+4y-4=0联立，消去y，
可得2x²+（2m-2）x+m²-4m-4=0，
∴x₁+x₂=1-m，2x₁x₂=m²-4m-4，
∴m²-4m-4+m（1-m）+m²=0，
∴m²-3m-4=0，
∴m=-1或m=4，满足题意．

点评：本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，是中档题．