Question

已知锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且（2c-b）cosA=acosB．
（1）求角A的值
（2）若a=

3

，则求b+c的取值范围．

Answer 1

考点：余弦定理的应用,正弦定理的应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用正弦定理化简已知等式，利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosA的值，即可确定出A的度数．
（2）通过正弦定理以及两角和与差的三角函数化简b+c为一个角的一个三角函数的形式，通过角的范围求出三角函数的值的范围即可．

解答： 解：（1）由（2c-b）cosA=acosB及正弦定理得（2sinC-sinB）cosA=sinAcosB，
得2sinCcosA=sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B），
∵A+B+C=π，
∴sin（A+B）=sinC≠0，
∴cosA=

1

2

，
∵A为三角形的内角，
∴A=

π

3

．
（2）由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2，
∴b+c=2（sinB+sinC）=2（sinB+sin（

2π

3

-B））=2

3

sin(B+

π

6

)，
∵

0＜B＜ π 2 0＜ 2π 3 -B＜ π 2

∴

π

6

＜B＜

π

2

⇒

π

3

＜B+

π

6

＜

2π

3

∴b+c∈(3，2

3

]．

点评：此题考查了余弦定理、正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．