Question

己知向量

m

=（

3

sin

x

4

，1），

n

=（cos

x

4

，cos²

x

4

），记f（x）=

m

•

n

．
（Ⅰ）若f（x）=1，求cos（

2π

3

-x）的值；
（Ⅱ）在锐角△ABC申，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a-c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．

Answer 1

考点：正弦定理的应用,平面向量的综合题

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）利用向量的运算法则和向量的坐标化简整理出f（x）的解析式，进而根据f（x）=1求得sin（

x

2

+

π

6

）的值，最后利用二倍角的余弦函数公式求得答案．
（Ⅱ）利用正弦定理把已知条件中的边转化为角的正弦，进而化简求得cosB的值，继而求得B，则A的范围可得，确定

A

2

+

π

6

的范围，进而根据第一问中f（x）的解析式和正弦函数的性质确定函数f（A）的范围．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=

m

•

n

=

3

sin

x

4

cos

x

4

+cos2

x

4

=

3

2

sin

x

2

+

1

2

cos

x

2

+

1

2

=sin(

x

2

+

π

6

)+

1

2

因为f（x）=1，
所以sin(

x

2

+

π

6

)=

1

2

，cos(x+

π

3

)=1-2sin2(

x

2

+

π

6

)=

1

2

cos(

2π

3

-x)=-cos(x+

π

3

)=-

1

2

．
（Ⅱ）因为（2a-c）cosB=bcosC
由正弦定理得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
所以2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，
所以2sinAcosB=sin（B+C），
因为A+B+C=π，所以sin（B+C）=sinA，且sinA≠0
所以cosB=

1

2

，B=

π

3

，
所以0＜A＜

2π

3

，
所以

π

6

＜

A

2

+

π

6

＜

π

2

，

1

2

＜sin(

A

2

+

π

6

)＜1，
又因为f（x）=

m

•n

=sin(

x

2

+

π

6

)+

1

2

，
所以f（A）=sin(

A

2

+

π

6

)+

1

2

，
故函数f（A）的取值范围是 (1，

3

2

)

点评：本题主要考查了向量的运算法则的应用，三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质的应用．考查了学生综合分析和解决问题的能力．