Question

9．已知f（x）=cos2ωx-$\sqrt{3}$sin2ωx，f（x）的最小正周期是π．
（1）求f（x）在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上的单调递增区间；
（2）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，f（x）+m≤3，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由三角函数公式化简可得f（x）=2cos（2ωx+$\frac{π}{3}$），由周期可得ω=1，可得f（x）=2cos（2x+$\frac{π}{3}$），解2kπ+π≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+2π结合x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]可得；
（2）可得x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，cos（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-1，$\frac{1}{2}$]，由已知不等式和恒成立可得．

解答 解：（1）由三角函数公式化简可得：
f（x）=cos2ωx-$\sqrt{3}$sin2ωx=2cos（2ωx+$\frac{π}{3}$），
由f（x）的最小正周期是π可得$\frac{2π}{2ω}$=π，解得ω=1，
∴f（x）=2cos（2x+$\frac{π}{3}$），
由2kπ+π≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+2π可得kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{6}$，
∴f（x）的单调递增区间为[kπ+$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{5π}{6}$]（k∈Z），
故f（x）在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上的单调递增区间为[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]；
（2）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，
∴cos（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-1，$\frac{1}{2}$]，
f（x）+m≤3等价于m-3≥f（x），
故m-3≥$\frac{1}{2}$，解得m≥$\frac{7}{2}$．

点评 本题考查三角函数的最值，涉及三角函数的单调性和值域以及恒成立问题，属中档题．