Question

给出下列四个命题：
①函数f（x）=lnx-2+x在区间（1，e）上存在零点；
②若m≥-1，则函数y=log 

1

2

（x²-2x-m）的值域为R；
③若f′（x₀）=0，则函数y=f（x）在x=x₀处取得极值；
④“a=1”是“函数f（x）=

a-ex

1+aex

在定义域上是奇函数”的充分不必要条件．
其中正确的是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：①根据函数零点的判断条件即可得到结论．
②根据对数函数的性质即可得到结论．
③根据函数极值的定义和导数之间的关系即可得到结论．
④根据函数奇偶性的定义以及充分条件和必要条件即可得到结论．

解答： 解：①函数f（x）=lnx-2+x在区间（1，e）单调递增，
∵f（1）=1-2=-1＜0，f（e）=lne-2+e=e-1＞0，
∴函数f（x）=lnx-2+x在区间（1，e）上存在零点，故①正确；
②要使函数y=log 

1

2

（x²-2x-m）的值域为R，则函数y=x²-2x-m能取得所有的正值，即判别式△=4+4m≥0，解得m≥-1，故②正确；
③函数f（x）=x³，满足f′（0）=0，但此时函数f（x）无极值，故函数y=f（x）在x=x₀处取得极值错误，故③错误；
④当a=1，函数f（x）=

a-ex

1+aex

=

1-ex

1+ex

，则f（-x）=

1-e-x

1+e-x

=

ex-1

1+ex

=-

1-ex

1+ex

=-f（x）是奇函数，
当a=-1时f（x）=

-1-ex

1-ex

=

ex+1

ex-1

，满足f（-x）=

e-x+1

e-x-1

=

1+ex

1-ex

=-

ex+1

ex-1

=-f（x），此时f（x）是奇函数，但a=1不成立，
即④“a=1”是“函数f（x）=

a-ex

1+aex

在定义域上是奇函数”的充分不必要条件，故④正确．
故答案为：①②④

点评：本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强．