Question

9．已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别是F₁、F₂，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF₁F₂是以PF₁为底边的等腰三角形，若|PF₁|=8，椭圆与双曲线的离心率分别为e₁，e₂，则$\frac{1}{{e}_{1}}$+$\frac{1}{{e}_{2}}$的取值范围是（　　）

• A． （1，+∞）
• B． （1，4）
• C． （2，4）
• D． （4，8）

Answer 1

分析 利用待定系数法设出双曲线和椭圆的方程，根据双曲线和椭圆的定义得到a₁=4+c，a₂=4-c，然后利用离心率的公式进行转化求解即可．

解答 解：设椭圆与双曲线的标准方程分别为：$\frac{{x}^{2}}{{a}_{1}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}_{1}^{2}}=1$，$\frac{{x}^{2}}{{a}_{2}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}_{2}^{2}}=1$．（a₁，a₂，b₁，b₂＞0，a₁＞b₁）
∵△PF₁F₂是以PF₁为底边的等腰三角形，|PF₁|=8，
∴8+2c=2a₁，8-2c=2a₂，
即有a₁=4+c，a₂=4-c，（c＜4），
再由三角形的两边之和大于第三边，可得2c+2c＞8，
可得c＞2，即有2＜c＜4．
由离心率公式可得$\frac{1}{{e}_{1}}$+$\frac{1}{{e}_{2}}$=$\frac{{a}_{1}}{c}+\frac{{a}_{2}}{c}$=$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}}{c}$=$\frac{4+c+4-c}{c}$=$\frac{8}{c}$，
∵2＜c＜4，
∴$\frac{1}{4}$＜$\frac{1}{c}$＜$\frac{1}{2}$，
则2＜$\frac{8}{c}$＜4，
即2＜$\frac{1}{{e}_{1}}$+$\frac{1}{{e}_{2}}$＜4，
故$\frac{1}{{e}_{1}}$+$\frac{1}{{e}_{2}}$的取值范围是（2，4），
故选：C

点评 本题主要考查双曲线离心率的计算，根据椭圆和双曲线的关系和定义得到a₁=4+c，a₂=4-c，结合三角形的边角关系求出c的范围是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．