Question

18．设函数f（x）=lg（x+1）的定义域为集合A，g（x）=$\sqrt{2x+m-{x}^{2}}$的定义域为集合B．
（1）当m=3时，求A∩（∁_RB）；
（2）若A∩B={x|-1＜x≤4}，求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）分别求出f（x）与g（x）的定义域确定出A与B，求出A与B补集的交集即可；
（2）表示出g（x）的定义域，根据A与B的交集，确定出m的值即可．

解答 解：（1）由函数f（x）=lg（x+1），得到x+1＞0，
解得：x＞-1，即A=（-1，+∞）；
由函数g（x）=$\sqrt{2x+m-{x}^{2}}$及m=3，得到-x²+2x+3≥0，
整理得：x²-2x-3≤0，即（x-3）（x+1）≤0，
解得：-1≤x≤3，即B=[-1，3]，
∴∁_RB=（-∞，-1）∪（3，+∞），
则A∩（∁_RB）=（3，+∞）；
（2）由B中函数得：-x²+2x+m≥0，即x²-2x-m≤0，
∵A=（-1，+∞），A∩B=（-1，4]，
∴x=4是方程x²-2x-m=0的解，
把x=4代入方程得：16-8-m=0，
解得：m=8．

点评 此题考查了交集及其运算，交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．