Question

20．定义：分子为1且分母为正整数的分数叫做单位分数，我们可以把1拆分成多个不同的单位分数之和．例如：1=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$，1=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$，1=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{20}$，…，依此拆分法可得1=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{30}$+$\frac{1}{42}$+$\frac{1}{56}$+$\frac{1}{72}$+$\frac{1}{90}$+$\frac{1}{110}$+$\frac{1}{132}$+$\frac{1}{156}$+$\frac{1}{182}$，其中m，n∈N^*，则m-n=（　　）

• A． -2
• B． -4
• C． -6
• D． -8

Answer 1

分析 结合裂项相消法，可得$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=$\frac{m+n}{mn}$=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{14}$=$\frac{1}{20}$+$\frac{1}{14}$，解得m，n值，可得答案．

解答 解：∵1=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{30}$+$\frac{1}{42}$+$\frac{1}{56}$+$\frac{1}{72}$+$\frac{1}{90}$+$\frac{1}{110}$+$\frac{1}{132}$+$\frac{1}{156}$+$\frac{1}{182}$，
∵2=1×2，
6=2×3，
30=5×6，
42=6×7，
56=7×8，
72=8×9，
90=9×10，
110=10×11，
132=11×12，
156=12×13，
182=13×14
∴1=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{30}$+$\frac{1}{42}$+$\frac{1}{56}$+$\frac{1}{72}$+$\frac{1}{90}$+$\frac{1}{110}$+$\frac{1}{132}$+$\frac{1}{156}$+$\frac{1}{182}$
=（1-$\frac{1}{4}$）+$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$+（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{14}$），
$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=$\frac{m+n}{mn}$=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{14}$=$\frac{1}{20}$+$\frac{1}{14}$，
∴m=14，n=20，
∴m-n=-6，
故选：C．

点评 本题考查的知识点是归纳推理，但本题运算强度较大，属于中档题．