Question

12．f（x）是定义域在R上的增函数：且满足f（$\frac{x}{y}$）=f（x）-f（y）．
（1）求f（1）的值：
（2）若f（6）=1，求方程f（x）=2的解；
（3）若f（6）=1，解不等式f（x+2）-f（$\frac{1}{x}$）＜2．

Answer 1

分析 （1）直接令x=y=1就能求得f（1）的值；
（2）根据定义得到f（36）=2f（6），从而解出方程；
（3）运用函数的单调性转化为解一元二次不等式．

解答 解：（1）令x=y=1代入得，
f（1）=f（1）-f（1）=0，
即f（1）的值为0；
（2）∵f（6）=1，且f（$\frac{x}{y}$）=f（x）-f（y），
∴f（6）=f（$\frac{36}{6}$）=f（36）-f（6），
即f（36）=2f（6）=2，且f（x）为R上的增函数，
所以由f（x）=2得，x=36，
即方程f（x）=2的解为x=36；
（3）由（2）得，f（x（x+2））＜f（36），
根据单调性，x（x+2）＜36，
解得，x∈（-1-$\sqrt{37}$，-1+$\sqrt{37}$）．

点评 本题主要考查了抽象函数函数值的求解，并运用函数的单调性解方程和不等式，属于中档题．