Question

14．已知锐角△ABC中，角α+$\frac{π}{6}$的终边过点P（sinB-cosA，cosB-sinA），且cos（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，则cos2α的值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{6}$
• B． -$\frac{\sqrt{2}}{3}$-$\frac{1}{6}$
• C． $\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{6}$
• D． -$\frac{\sqrt{6}}{3}$-$\frac{1}{6}$

Answer 1

分析 由题意可得tan（$α+\frac{π}{6}$）＜0，结合cos（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$求出$α+\frac{π}{6}$的范围，并求出sin（α+$\frac{π}{6}$），利用两角差的余弦求出cosα，再利用倍角公式得答案．

解答 解：∵A、B是锐角三角形两内角，则A+B$＞\frac{π}{2}$，
∴sinA＞cosB，sinB＞cosA，
由题意可得，$\frac{cosB-sinA}{sinB-cosA}$=tan（$α+\frac{π}{6}$）＜0．
又cos（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$＞0，$α+\frac{π}{6}$为第四象限角．
∴sin（α+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴cosα=cos[（$α+\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=cos（$α+\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$+sin（$α+\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}+（-\frac{\sqrt{6}}{3}）×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{6}}{6}$．
∴cos2α=2cos²α-1=$2×（\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{6}}{6}）^{2}-1$=$-\frac{\sqrt{6}}{3}-\frac{1}{6}$．
故选：D．

点评 本题考查任意角的三角函数定义，考查了二倍角的余弦公式，关键是“拆角配角”思想的应用，是中档题．