题目内容
3．已知抛物线C：y=2x2和直线l：y=kx+1，O为坐标原点．（1）求证：l与C必有两交点；
（2）设l与C交于A，B两点，且直线OA和OB斜率之和为1，求k的值．
分析 （1）联立抛物线C：y=2x2和直线l：y=kx+1，可得2x2-kx-1=0，利用△＞0，即可证明l与C必有两交点；
（2）根据直线OA和OB斜率之和为1，利用韦达定理可得k的值．
解答 （1）证明：联立抛物线C：y=2x2和直线l：y=kx+1，可得2x2-kx-1=0，
∴△=k2+8＞0，∴l与C必有两交点；
（2）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=1①
因为y1=kx1+1，y2=kx2+1，代入①，得2k+（$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$）=1②
因为x1+x2=$\frac{1}{2}$k，x1x2=-$\frac{1}{2}$，代入②得k=1．
点评 本题主要考查抛物线的方程与简单性质、直线的一般式方程、直线与抛物线的位置关系，以及方程思想，属于基础题．
练习册系列答案
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17．已知集合M={0，1}，N={x|x=2n，n∈Z}，则M∩N为（ ）
| A． | {0} | B． | {1} | C． | {0，1} | D． | {0，1，2} |
18．已知复数$z=\frac{3-bi}{i}（{b∈R}）$的实部和虚部相等，则|z|=（ ）
| A． | 2 | B． | 3 | C． | $2\sqrt{2}$ | D． | $3\sqrt{2}$ |
15．若集合A={y|y=x${\;}^{\frac{1}{3}}$}，B={x|y=ln（x-1）}，则A∩B等于（ ）
| A． | [1，+∞） | B． | （0，1） | C． | （1，+∞） | D． | （-∞，1） |
2．下列命题正确的是（ ）
| A． | y=x+$\frac{1}{x}$的最小值为2 | |
| B． | 命题“?x∈R，x2+1＞3x”的否定是“?x∈R，x2+1≤3x” | |
| C． | “x＞2“是“$\frac{1}{x}$＜$\frac{1}{2}$”的充要条件 | |
| D． | ?x∈（0，$\frac{1}{3}$），（$\frac{1}{2}$）x＜log${\;}_{\frac{1}{3}}$x |