Question

有下列命题：①y=cos（x-

π

4

）cos（x+

π

4

）的图象中相邻两个对称中心的距离为π，②y=

x+3

x-1

的图象关于点（-1，1）对称，③关于x的方程ax²-2ax-1=0有且仅有一个实根，则a=-1，④命题p：对任意x∈R，都有sinx≤1；则￢p：存在x∈R，使得sinx＞1．其中真命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：对于①，化简函数的解析式为y=

1

2

cos2x，故函数的周期为

2π

2

，可得①不正确．
对于②，根据函数的解析式为y=1+

4

x-1

，它的图象关于点（1，1）对称，可得②不正确．
对于③根据判别式等于零求得a=-1，从而得出③正确．
对于④根据命题的否定的定义可得结论正确．从而得出结论．

解答： 解：由于y=cos（x-

π

4

）cos（x+

π

4

）=（

2

2

cosx+

2

2

sinx）•（

2

2

cosx-

2

2

sinx）
=

1

2

（cos²x-sin²x）=

1

2

cos2x，故函数的周期为

2π

2

=π，
故函数的图象中相邻两个对称中心的距离为

π

2

，故①不正确．
由于y=

x+3

x-1

=

x-1+4

x-1

=1+

4

x-1

，故它的图象关于点（1，1）对称，故②不正确．
由于关于x的方程ax²-2ax-1=0有且仅有一个实根，故有（-2a）²+4a=0，求得a=-1或a=0（舍去），
故③正确．
由于命题p：对任意x∈R，都有sinx≤1；则￢p为：存在x∈R，使得sinx＞1，故④正确．
故答案为：③④．

点评：本题主要考查三角恒等变换、三角函数的图象的周期性、对称性，二次函数的性质，属于中档题．