Question

平面直角坐标系中，曲线C₁的参数方程为

x=1-cosα y=cosα

（α为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立的极坐标系中，曲线C₂的方程为ρ=2sinθ．
（Ⅰ）求C₁和C₂的普通方程：
（Ⅱ）求C₁和C₂公共弦的垂直平分线的极坐标方程．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）消去参数α，把曲线C₁的参数方程化为普通方程，利用极坐标公式，把曲线C₂的极坐标方程化为普通方程；
（Ⅱ）由C₁、C₂的公共弦的垂直平分线过两圆圆心，求出直线方程，化为极坐标方程即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵C₁的参数方程为

x=1-cosα y=cosα

（α为参数），
∴化为普通方程是（x-1）²+y²=1；
又∵曲线C₂的方程为ρ=2sinθ，
化为普通方程是x²+y²-2y=0；
（Ⅱ）∵C₁和C₂公共弦的垂直平分线是过两圆圆心的直线，
由（Ⅰ）得C₁的圆心为（1，0），C₂的圆心为（0，1），
∴直线方程为x+y=1，
∴它的极坐标方程是ρcos(θ-

π

4

)=

2

2

．

点评：本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，解题时应把参数方程与极坐标方程先化为普通方程，再进行解答问题，是基础题．