题目内容
过椭圆
+
=1的左焦点F且倾斜角为45°的直线交椭圆于A、B两点，若
=2
，则该椭圆的离心率为 ．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| FA |
| BF |
考点：椭圆的简单性质
专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：设椭圆的左准线为l，设A、B两点在l上的射影分别为C、D，连接AC、BD，过点B作BG⊥AC利用圆锥曲线的统一定义，再结合直角△ABG中，∠BAG=45°，可求出边之间的长度之比，可得离心率的值．
解答：
解：如图，设椭圆的左准线为l，过A点作AC⊥l于C，
过点B作BD⊥l于D，再过B点作BG⊥AC于G，
直角△ABG中，∠BAG=45°，所以AB=
AG，…①
由圆锥曲线统一定义，∵FA=2FB，
∴AC=2BD
直角梯形ABDC中，AG=AC-BD=
AC…②
①、②比较，可得AC=
AB，
又∵AF=
AB，
∴e=
=
．
故答案为：
．
解：如图，设椭圆的左准线为l，过A点作AC⊥l于C，过点B作BD⊥l于D，再过B点作BG⊥AC于G，
直角△ABG中，∠BAG=45°，所以AB=
| 2 |
由圆锥曲线统一定义，∵FA=2FB，
∴AC=2BD
直角梯形ABDC中，AG=AC-BD=
| 1 |
| 2 |
①、②比较，可得AC=
| 2 |
又∵AF=
| 2 |
| 3 |
∴e=
| AF |
| AC |
| ||
| 3 |
故答案为：
| ||
| 3 |
点评：本题考查了圆锥曲线的统一定义的应用，结合解含有45°的直角三角形，求椭圆的离心率，属于几何方法，运算量小，方便快捷．
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