Question

△ABC中，

AB

•

AC

=2

3

，∠BAC=30°，M为其内部一点，且△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为

1

2

，x，y，则

1

x

+

4

y

的最小值为（　　）

• A、20
• B、19
• C、16
• D、18

Answer 1

考点：基本不等式,平面向量数量积的运算

专题：不等式的解法及应用,平面向量及应用

分析：利用向量的数量积定义可得bc=4，进而得到△ABC的面积，原式x+y=

1

2

．再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：∵

AB

•

AC

=2

3

，∠BAC=30°，∴cbcos30°=2

3

，∴bc=4．
∴S_△ABC=

1

2

bcsin30°=

1

2

×4×

1

2

=1．
∴

1

2

+x+y=1．
∴x+y=

1

2

．
∵x＞0，y＞0．
∴

1

x

+

4

y

=2（x+y）(

1

x

+

4

y

)=2(5+

y

x

+

4x

y

)≥2(5+2

y x • 4x y

)=18，当且仅当y=2x=

1

3

时取等号．
∴则

1

x

+

4

y

的最小值为18．
故选：D．

点评：本题考查了向量的数量积定义、三角形的面积计算公式、“乘1法”和基本不等式的性质，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．