Question

已知抛物线（且为常数），为其焦点．

（1）写出焦点的坐标；
（2）过点的直线与抛物线相交于两点，且，求直线的斜率；
（3）若线段是过抛物线焦点的两条动弦，且满足，如图所示．求四边形面积的最小值．

Answer 1

（1）（a，0）；（2）； (3) ．

试题分析：（1）∵抛物线方程为（a＞0），∴焦点为F（a，0）．
（2）设满足题意的点为P（x₀，y₀）、Q（x₁，y₁）．
∵，
∴(a-x₀，-y₀)=2(x₁-a，y₁)，即．
又y₁²=4ax₁，y₀²=4ax₀，
∴，进而可得x₀=2a，，即y₀=±2a．
∴．
(3) 由题意可知，直线AC不平行于x轴、y轴（否则，直线AC、BD与抛物线不会有四个交点）。
于是，设直线AC的斜率为．    12分
联立方程组，化简得(设点),则是此方程的两个根．
．                           13分
弦长
＝
＝
＝．                   15分
又,．． 16分
＝,当且仅当时，四边形面积的最小值．18分
点评：中档题，涉及曲线的位置关系问题，往往通过联立方程组，消元后，应用韦达定理，简化运算过程。本题（2）通过应用平面向量共线的条件，利用“代入法”，得到的关系，进一步求得直线的斜率。（3）利用函数的观点及均值定理，确定得到面积的最小值。应用均值定理要注意“一正，二定，三相等”，缺一不可。