Question

设椭圆的左右顶点分别为，离心率．过该椭圆上任一点作轴，垂足为，点在的延长线上，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）求动点的轨迹的方程；
（3）设直线（点不同于）与直线交于点，为线段的中点，试判断直线与曲线的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

（1）;（2）;（3）详见解析.

试题分析：（1）根据椭圆的几何性质求出椭圆标准方程中的；（2）用设点、建立两个动点之间坐标的关系和代入已知曲线方程的方法求出动点轨迹方程；（3）先利用三点共线建立与的坐标关系，再根据为线段的中点求出的坐标表达式，进一步求出直线的方程，最后根据曲线圆心到直线的距离与半径的大小情况判断其位置关系.
试题解析：（1）由题意可得，，∴，         2分
∴，所以椭圆的方程为．       4分
（2）设，，由题意得，即，    6分
又，代入得，即．
即动点的轨迹的方程为．           8分
（3）设，点的坐标为，∵三点共线，∴，
而，，则，∴，
∴点的坐标为，点的坐标为，      10分
∴直线的斜率为，
而，∴，∴，       12分
∴直线的方程为，化简得，
∴圆心到直线的距离，
所以直线与圆相切．          14分