Question

【题目】在数列中， ,且 (）．

（1）写出此数列的前5项； （2）归纳猜想的通项公式，并加以证明．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）利用数列{an}前n项的算术平均数等于第n项的2n-1倍，推出关系式，通过n=2，3，4，5求出此数列的前5项；
（2）通过（1）归纳出数列{an}的通项公式，然后用数学归纳法证明．第一步验证n=1成立；第二步，假设n=k猜想成立，然后证明n=k+1时猜想也成立．

试题解析：

（1）由已知分别取，得， ，

， ，

所以数列的前5项是： ， ．

（2）由（1）中的分析可以猜想．

下面用数学归纳法证明：①当时，公式显然成立．

②假设当时成立，即，那么由已知，

得，即，

所以， 即，

又由归纳假设，得，

所以，即当时，公式也成立．

由①和②知，对一切，都有成立．