题目内容
【题目】已知函数.
(1)若曲线在
处切线的斜率为
,求此切线方程;
(2)若有两个极值点
,求
的取值范围,并证明:
.
【答案】(1);(2)见解析
【解析】
(1)在
处切线的斜率为
,即
,得出
,计算f(e),即可出结论
(2)①有两个极值点
得
=0有两个不同的根,即
有两个不同的根,令,利用导数求其范围,则实数a的范围可求;
有两个极值点
,
利用
在(e,+∞)递减,
,
,
,即可证明
(1)∵,∴
,解得
,
∴,故切点为
,
所以曲线在
处的切线方程为
.
(2),令
=0,得
.
令,则
,
且当时,
;当
时,
;
时,
.
令,得
,且当
时,
;当
时,
.
故在
递增,在
递减,所以
.
所以当时,
有一个极值点;
时,
有两个极值点;
当时,
没有极值点.综上,
的取值范围是
.
(方法不同,酌情给分)
因为是
的两个极值点,所以
即
…①
不妨设,则
,
,
因为在
递减,且
,所以
,即
…②.
由①可得,即
,
由①,②得,所以
.
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