Question

定义两个实数间的一种新运算“*”：x*y＝ln(e^x＋e^y)，x，y∈R.当x*x＝y时，x＝.对任意实数a，b，c，给出如下命题：

①a*b＝b*a；

②(a*b)＋c＝(a＋c)*(b＋c)；

③(a*b)－c＝(a－c)*(b－c)；

④(a*b)*c＝a*(b*c)；

⑤

其中正确的命题有________．(写出所有正确的命题序号)

Answer 1

①②③④⑤

解析　因为a*b＝ln(e^a＋e^b)，b*a＝ln(e^b＋e^a)，

所以a*b＝b*a，即①对；

因为(a*b)＋c＝ln(e^a＋e^b)＋c＝ln[(e^a＋e^b)e^c]

＝ln(e^a＋c＋e^b＋c)＝(a＋c)*(b＋c)，所以②对；

只需令②中的c为－c，即有结论(a*b)－c＝(a－c)*(b－c)，所以③对；

因为(a*b)*c＝[ln(e^a＋e^b)]*c＝ln[＋e^c]

＝ln(e^a＋e^b＋e^c)，

a*(b*c)＝a*[ln(e^b＋e^c)]＝ln[e^a＋]

＝ln(e^a＋e^b＋e^c)，

所以(a*b)*c＝a*(b*c)，即④对；

设＝x，则x*x＝a*b，

所以ln(e^x＋e^x)＝ln(e^a＋e^b)，

所以2×e^x＝e^a＋e^b，

故正确的命题是①②③④⑤.