Question

已知函数f（x）=（ax-2）e^x在x=1处取得极值．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）在[m，m+1]上的最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）f′（x）=ae^x+（ax-2）e^x=（ax+a-2）e^x，由此利用导数性质能求出a=1．
（2）由f（x）=（x-2）e^x，得f′（x）=e^x+（x-2）e^x=（x-1）e^x．由f′（x）=0，得x=1，由此列表讨论，能求出f（x）在[m，m+1]上的最小值．

解答： 解：（1）f′（x）=ae^x+（ax-2）e^x=（ax+a-2）e^x
由已知得f'（1）=0即（2a-2）e^x=0解得：a=1
当a=1时，在x=1处函数f（x）=（x-2）e^x取得极小值，所以a=1．（4分）
（2）由f（x）=（x-2）e^x，
得f′（x）=e^x+（x-2）e^x=（x-1）e^x．
由f′（x）=0，得x=1，
列表讨论：

x	（-∞，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	减		增

所以函数f（x）在（-∞，1）递减，在（1，+∞）递增；
当m≥1时，f（x）在[m，m+1]单调递增，f_min（x）=f（m）=（m-2）e^m，
当0＜m＜1时，m＜1＜m+1f（x）在[m，1]单调递减，
在[1，m+1]单调递增，f_min（x）=f（1）=-e．
当m≤0时，m+1≤1，f（x）在[m，m+1]单调递减，
fmin(x)=f(m+1)=(m-1)em+1．
综上，f（x）在[m，m+1]上的最小值：
fmin(x)=

(m-2)em， m≥1 -e， 0＜m＜1 (m-1)em+1， m≤0

．（4分）

点评：本题考查实数值的求法，考查函数的最小值的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．