Question

7．已知a＜0，f（x）=x³-ax
（1）判断f（x）在R上的单调性，并证明．
（2）设g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），x≤-1}\\{{x}^{2}-2ax+1，x＞-1}\end{array}\right.$，且g（x）在R上是单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）函数f（x）在R上为增函数，用单调性定义证明即可；
（2）由g（x）在R上是单调函数得出$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{a≤-1}\\{2+2a≥a-1}\end{array}\right.$，解不等式组即可．

解答 解：（1）函数f（x）在R上为增函数；…（1分）
证明：任取x₁、x₂∈R、且x₁＜x₂，
所以f（x₁）-f（x₂）=（${{x}_{1}}^{3}$-ax₁）-（${{x}_{2}}^{3}$-ax₂）
=（x₁-x₂）（${{x}_{1}}^{2}$+x₁x₂+${{x}_{2}}^{2}$-a）…（2分）
=（x₁-x₂）[${{（x}_{1}+{\frac{1}{2}x}_{2}）}^{2}$+$\frac{3}{4}$${{x}_{2}}^{2}$-a]；…（4分）
由x₁-x₂＜0，-a＞0，
得f（x₁）-f（x₂）＜0，
所以f（x₁）＜f（x₂），
即由定义知f（x）在R上为增函数；…（6分）
（2）由g（x）在R上是单调函数知$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{a≤-1}\\{2+2a≥a-1}\end{array}\right.$，
解得-3≤a≤-1，
所以a的取值范围是a∈[-3，-1]…（12分）

点评 本题考查了利用单调性定义证明函数的单调性问题，也考查了分段函数的单调性问题，是基础题目．