Question

已知数列{a_n}是非常数列的等差数列，S_n为其前n项和，S₅=25，且a₁，a₃，a₁₃成等比数列；数列{b_n}满足2log₂b_n=a_n+1（n∈N^*），{b_n}的前n项和为T_n．
（I）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）{b_n}的前n项和为T_n，求使T_n＞2014成立的最小正整数n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）设等差数列{a_n}的公差为d≠0，S₅=25，可得

5(a1+a5)

2

=25=5a₃，a₃=5，由于a₁，a₃，a₁₃成等比数列，可得

a

3 3

=a1•a13，

a

2 3

=(a3-2d)•(a3+10d)，解得d．利用等差数列的通项公式可得a_n．由于2log₂b_n=a_n+1，可得2log₂b_n=2n-1+1，解出b_n．
（II）利用等比数列的前n项和公式可得T_n．T_n＞2014即2ⁿ⁺¹-2＞2014，即可得出．

解答： 解：（I）设等差数列{a_n}的公差为d≠0，S₅=25，
∴

5(a1+a5)

2

=25=5a₃，a₃=5，
∵a₁，a₃，a₁₃成等比数列，
∴

a

3 3

=a1•a13，
∴

a

2 3

=(a3-2d)•(a3+10d)，
∴5²=（5-2d）（5+10d），d≠0，解得d=2．
∴a_n=a₃+（n-3）d=5+2（n-3）=2n-1．
∵2log₂b_n=a_n+1，
∴2log₂b_n=2n-1+1，
∴bn=2n．
（II）{b_n}的前n项和为T_n=

2(2n-1)

2-1

=2ⁿ⁺¹-2．
T_n＞2014即2ⁿ⁺¹-2＞2014，化为2ⁿ＞1013，∴n≥10．
∴使T_n＞2014成立的最小正整数n=10．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式性质及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．