Question

18．如图所示，三棱柱OAD-EBC，其中A，C，B，D，E均为以O为球心，半径为4的半球面上，EF为直径，侧面ABCD为边长等于4的正方形，则三棱柱OAD-EBC的高为（　　）

• A． $\frac{8\sqrt{6}}{3}$
• B． $\frac{4\sqrt{6}}{3}$
• C． $\frac{4\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 连结OB，OC，判断O-ABCD的形状，求出V_O-ABD，利用三棱锥的体积公式建立方程，求出结果．

解答 解：连结OB，OC，由题意可知O-ABCD是棱长为4的四棱锥，O到底面ABCD的距离为h=$\sqrt{{4}^{2}-（2\sqrt{2}）^{2}}$=2$\sqrt{2}$．O到AD的距离为$\sqrt{8+4}$=2$\sqrt{3}$
V_O-ABD=$\frac{1}{3}$S_△ABD•h=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×4×4×2$\sqrt{2}$=$\frac{16\sqrt{2}}{3}$．
三棱柱OAD-EBC的高为h′，则$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×2\sqrt{3}×h′$=$\frac{16\sqrt{2}}{3}$，
∴h′=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查球与内接几何体的关系，三棱锥的体积的求法以及关系的应用，考查转化思想．