Question

设x、y∈R，、为直角坐标平面内x、y轴正方向上的单位向量，=x+（y+2），=x+（y-2），且||+||=8．
（1）求点M（x，y）的轨迹C的方程；
（2）过点（0，3）作直线l与曲线C交于A、B两点，设，是否存在这样的直线l，使得四边形OAPB是矩形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据向量的表达式和||+||的值可推断出点M（x，y）到两个定点F₁（0，-2），F₂（0，2）的距离之和为8．根据椭圆的定义判断出其轨迹为椭圆，进而根据c和a，求得b，则椭圆方程可得．
（2）先看当直线l是y轴，则A、B两点是椭圆的顶点．根据=+=0可推断出P与O重合，与四边形OAPB是矩形矛盾．不可知直线的斜率一定存在，设出直线方程，和A，B的坐标，把直线方程与椭圆方程联立消去y，根据韦达定理求得x₁+x₂和x₁x₂的表达式，根据=+和矩形的性质判断出OA⊥OB，即•=0．求得x₁x₂+y₁y₂=0，进而求得k．
解答：（1）解：∵=xi+（y+2）j，=xi+（y-2）j，且||+||=8，
∴点M（x，y）到两个定点F₁（0，-2），F₂（0，2）的距离之和为8．
c=2，a=4，则b==2
∴轨迹C为以F₁、F₂为焦点的椭圆，方程为+=1．

（2）∵l过y轴上的点（0，3），
若直线l是y轴，则A、B两点是椭圆的顶点．
∵=+=0，
∴P与O重合，与四边形OAPB是矩形矛盾．
∴直线l的斜率存在．设l方程为y=kx+3，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由y=kx+3，+=1，消y得（4+3k²）x²+18kx-21=0．
此时，△=（18k²）-4（4+3k²）＞0恒成立且x₁+x₂=-，x₁x₂=-．
∵=+，
∴四边形OAPB是平行四边形．若存在直线l，使得四边形OAPB是矩形，则OA⊥OB，即•=0．
∵=（x₁，y₁），=（x₂，y₂），
∴•=x₁x₂+y₁y₂=0，
即（1+k²）x₁x₂+3k（x₁+x₂）+9=0，
即（1+k²）•（-）+3k•（-）+9=0，即k²=，得k=±．
∴存在直线l：y=±x+3，使得四边形OAPB是矩形．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，