题目内容
设x，y∈R，
、为直角坐标系内x、y轴正方向上的单位向量，若
=x
+（y+2）
，
=x
+（y-2）
且
2+
2=16．（1）求点M（x，y ）的轨迹C的方程；
（2）过定点（0，3）作直线l与曲线C交于A、B两点，设
，是否存在直线l使四边形OAPB为正方形？若存在，求出l的方程，若不存在说明理由．
【答案】分析：（1）利用向量的数量积公式，即可求得点M（x，y ）的轨迹C的方程；
（2）设出直线方程，代入圆的方程，结合韦达定理及向量的数量积公式，即可得到结论．
解答：解：（1）∵
=x
+（y+2）
，
=x
+（y-2）
且
2+
2=16，
为直角坐标系内x、y轴正方向上的单位向量，
∴x2+（y+2）2+x2+（y-2）2=16
∴点M（x，y ）的轨迹C的方程是x2+y2=4；
（2）假设存在直线l，设方程为y=kx+3，代入x2+y2=4可得（1+k2）x2+6kx+5=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-
，x1•x2=
由题意，
，则x1•x2+y1•y2=0
∴x1•x2+k2x1•x2+3k（x1+x2）+9=0
∴
+
+3k•（-
）+9=0
∴k=
∴存在l且l的方程为y=
．
点评：本题考查轨迹方程，考查数量积公式的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．
（2）设出直线方程，代入圆的方程，结合韦达定理及向量的数量积公式，即可得到结论．
解答：解：（1）∵
=x+（y+2），=x+（y-2）且2+2=16，为直角坐标系内x、y轴正方向上的单位向量，∴x2+（y+2）2+x2+（y-2）2=16
∴点M（x，y ）的轨迹C的方程是x2+y2=4；
（2）假设存在直线l，设方程为y=kx+3，代入x2+y2=4可得（1+k2）x2+6kx+5=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-
，x1•x2=由题意，
，则x1•x2+y1•y2=0∴x1•x2+k2x1•x2+3k（x1+x2）+9=0
∴
++3k•（-）+9=0∴k=
∴存在l且l的方程为y=
．点评：本题考查轨迹方程，考查数量积公式的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
阅读快车系列答案
相关题目
设x，y∈R，i为虚数单位，且
=1+2i，则Z=x+yi的共轭复数在复平面内对应的点在（ ）
| 3+4i |
| x+yi |
| A、第一象限 | B、第二象限 |
| C、第三象限 | D、第四象限 |
，
为直角坐标系平面内x轴、y轴正方向上的单位向量，若向量
＝x
)
＝x
)
的直线l与轨迹C交于不同两点A、B，求△PAB面积的最大值．
，
为直角坐标平面内x，y轴正方向上单位向量，若
，
，且
．
求证直线L与某个定圆E相切，并求出定圆E的方程。
、为直角坐标系内x、y轴正方向上的单位向量，若
=x
+（y+2）
，
=x
，是否存在直线l使四边形OAPB为正方形？若存在，求出l的方程，若不存在说明理由．