Question

为保护环境，绿色出行，某高校今年年初成立自行车租赁公司，初期投入36万元，建成后每年收入25万元，该公司第n年需要付出的维修费用记作a_n万元，已知{a_n}为等差数列，相关信息如图所示．
（1）设该公司前n年总盈利为y万元，试把y表示成n的函数，并求出y的最大值；（总盈利即n年总收入减去成本及总维修费用）
（2）该公司经过几年经营后，年平均盈利最大，并求出最大值．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,函数模型的选择与应用

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（1）由题意知，每年的费用是以6为首项，2为公差的等差数列，即可把y表示成n的函数，利用配方法求出y的最大值；
（2）年平均盈利

y

n

=-（n+

36

n

）+20，利用基本不等式能求出这种设备使用6年，该公司的年平均获利最大．

解答： 解：（1）由题意，每年的维修费是以6为首项，2为公差的等差数列，
∴a_n=a₁+2（n-1）=2n+4，
∴y=25n-

n[6+(2n+4)]

2

-36=-n²+20n-36=-（n-10）²+64
∴n=10时，y的最大值为64万元；
（2）年平均盈利

y

n

=-（n+

36

n

）+20≤-2

n× 36 n

+20=8，
当且仅当n=

36

n

，即n=6时，年平均收益最大．
所以这种设备使用6年，该公司的年平均获利最大．

点评：本题考查数列在生产实际中的应用，考查基本不等式的运用，确定函数关系是关键．