Question

某次数学考试中有三道选做题，分别为选做题1、2、3．规定每位考生必须且只须在其中选做一题．甲、乙、丙三名考生选做这一题中任意一题的可能性均为

1

3

，每位学生对每题的选择是相互独立的，各学生的选择相互之间没有影响．
（1）求这三个人选做的是同一道题的概率：
（2）设ξ为三个人中做选做题l的人数，求ξ的分布列与均值．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,离散型随机变量及其分布列

专题：应用题,概率与统计

分析：（1）设事件A₁表示三个人选做题1，A₂表示三个人选做题2，A₃表示三个人选做题3，则这三个人选做的是同一道题事件为A₁+A₂+A₃，根据互斥事件概率乘法公式，可得答案．
（2）ξ可能取值为0，1，2，3．结合甲、乙、丙三名考生选做这一题中任意一题的可能性均为

1

3

，可计算出ξ的分布列及数学期望．

解答： 解：（1）设事件A₁表示三个人选做题1，A₂表示三个人选做题2，A₃表示三个人选做题3，
则这三个人选做的是同一道题的概率为P（A₁+A₂+A₃）=3×

1

3

×

1

3

×

1

3

=

1

9

；
（2）ξ可能取值为0，1，2，3，且5名考生选做这三题的任意一题的可能性均为

1

3

，
∴P（ξ=k）=

C

k 3

•(

1

3

)k•(

2

3

)3-k，k=0，1，2，3，
∴分布列为

ξ	0	1	2	3
P	8 27	4 9	2 9	1 27

∴Eξ=0×

8

27

+1×

4

9

+2×

2

9

+3×

1

27

=1．

点评：此题考查了离散型随机变量的定义及其分布列，并且利用分布列求出期望，还考查了考虑问题时的严谨的逻辑思维及计算能力．