Question

11．已知函数$f（x）=lnx-\frac{a（x-1）}{x}（a∈R）$．
（Ⅰ）若a=1，求y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）求证：不等式$\frac{1}{lnx}-\frac{1}{x-1}＜\frac{1}{2}$对一切的x∈（1，2）恒成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，计算f′（1），f（1），求出切线方程即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（Ⅲ）问题等价于（x+1）lnx-2（x-1）＞0，令F（x）=（x+1）lnx-2（x-1），根据函数的单调性证明即可．

解答 解：（I）a=1时，$f（x）=lnx+\frac{1}{x}-1$，
所以${f^/}（x）=\frac{x-1}{x^2}$，而 f′（1）=0，f（1）=0，
 所以切线方程为y=0，
（II）f（x）的定义域为（0，+∞），
${f^/}（x）=\frac{x-a}{x^2}$，
①若a≤0，f′（x）＞0，
f（x）在（0，+∞）上单调递增，
②若a＞0，当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，a）单调递减，
当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（a，+∞）单调递增；
（Ⅲ）∵$1＜x＜2∴\frac{1}{lnx}-\frac{1}{x-1}＜\frac{1}{2}$
等价于（x+1）lnx-2（x-1）＞0，
令F（x）=（x+1）lnx-2（x-1），
则${F^/}（x）=lnx+\frac{（x+1）}{x}-2=lnx+\frac{1}{x}-1$，
由（I）知，当a=1时f_min（x）=f（1）=0，
∴f（x）＞f（1），即$lnx+\frac{1}{x}-1≥0$，
所以F′（x）≥0，则F（x）在（1，2）上单调递增，
所以F（x）＞F（1）=0，
即$有1＜x＜2时\frac{1}{lnx}-\frac{1}{x-1}＜\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题．