Question

已知椭圆C的两个焦点分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0），短轴长为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F₂的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且

F1P

⊥

F1Q

，求直线l的方程．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）可得椭圆的焦点在x轴，且c=1，b=1，易得a²，可得椭圆C的方程；（2）验证l无斜率时，不满足题意，当直线l有斜率时设方程为y=k（x-1），联立椭圆方程

x2 2 +y2=1 y=k(x-1)

消去y并整理可得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，由韦达定理可得x₁+x₂，x₁x₂，以及y₁y₂，由垂直可得

F1P

•

F1Q

=（x₁x₂+x₁+x₂+1）+y₁y₂=0，代入可得k的方程，解得k值，可得所求．

解答： 解：（1）由题意可得椭圆的焦点在x轴，且c=1，b=1，
∴a²=b²+c²=2，∴椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1；
（2）当直线l无斜率时，不满足

F1P

⊥

F1Q

；
故可设直线l的斜率为k，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
可得且

F1P

=（x₁+1，y₁），

F1Q

=（x₂+1，y₂）
可得直线l的方程为y=k（x-1），
联立椭圆方程

x2 2 +y2=1 y=k(x-1)

消去y并整理可得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
由韦达定理可得x₁+x₂=

4k2

1+2k2

，x₁x₂=

2k2-2

1+2k2

，
∴y₁y₂=k²（x₁-1）（x₂-1）=k²（x₁x₂-x₁-x₂+1）=

-k2

1+2k2

∵

F1P

⊥

F1Q

，∴

F1P

•

F1Q

=（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=0，
即（x₁x₂+x₁+x₂+1）+y₁y₂=0，∴

4k2

1+2k2

+

2k2-2

1+2k2

+1+

-k2

1+2k2

=0
解得k=±

7

7

，∴直线l的方程为y=±

7

7

（x-1）

点评：本题考查椭圆的简单性质，涉及待定系数法和分类讨论的思想，属中档题．