Question

7．已知抛物线C：y²=4x的焦点为F，定点A（0，-2），若射线FA与抛物线C交于点M，与抛物线C的准线交于点N，则|MN|：|FN|的值是（　　）

• A． （$\sqrt{5}$-2）：$\sqrt{5}$
• B． 2：$\sqrt{5}$
• C． 1：2$\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{5}$：（1+$\sqrt{5}$）

Answer 1

分析 求出抛物线C的焦点F的坐标，从而得到AF的斜率k=2．过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|．Rt△MPN中，根据tan∠NMP=k=2，从而得到|PN|=2|PM|，进而算出|MN|=$\sqrt{5}$|PM|，再求得|FN|=|MN|+|MF|=|MN|+|PM|=（$\sqrt{5}+1$）|PM|，则答案可求．

解答 解：∵抛物线C：y²=4x的焦点为F（1，0），点A坐标为（0，-2），
∴抛物线的准线方程为l：x=-1，直线AF的斜率为k=2，
过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|，
∵Rt△MPN中，tan∠NMP=k=2，
∴$\frac{|PN|}{|PM|}=2$，可得|PN|=2|PM|，
得|MN|=$\sqrt{|PN{|}^{2}+|PM{|}^{2}}=\sqrt{5}$|PM|，
而|FN|=|MN|+|MF|=|MN|+|PM|=（$\sqrt{5}+1$）|PM|，
∴|MN|：|FN|=$\sqrt{5}$：（1+$\sqrt{5}$），
故选：D．

点评 本题给出抛物线方程和射线FA，求线段的比值．着重考查了直线的斜率、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．