Question

13．某校举行校园达人秀初赛，共有3名评委老师参加评审，某一节目至少有2名评委老师同意通过，则该节目晋级．假如该校高二（1）班共有2名选手参加比赛，其中甲选手获得每位评委老师同意通过的概率均为$\frac{1}{2}$，乙选手获得每位评委老师同意通过的概率均为$\frac{1}{3}$，各评委老师评审的结果相互独立．
（1）分别求甲、乙两名选手晋级的概率；
（2）设高二（1）班甲、乙两选手的晋级的人数为X，试求随机变量X的概率分布列．

Answer 1

分析 （1）利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能分别求出甲、乙两名选手晋级的概率．
（2）由题意X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．

解答 解：（1）设甲、乙两名选手晋级的概率分别为P₁，P₂，
则P₁=${C}_{3}^{2}（\frac{1}{2}）^{2}（1-\frac{1}{2}）+{C}_{3}^{3}（\frac{1}{2}）^{3}$=$\frac{3}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{2}$，
P₂=${C}_{3}^{2}（\frac{1}{3}）^{2}（1-\frac{1}{3}）+{C}_{3}^{3}（\frac{1}{3}）^{3}$=$\frac{6}{27}+\frac{1}{27}$=$\frac{7}{27}$．
（2）由题意X的可能取值为0，1，2，
P（X=0）=$（1-\frac{1}{2}）（1-\frac{7}{27}）=\frac{10}{27}$，
P（X=1）=$\frac{1}{2}×（1-\frac{7}{27}）+（1-\frac{1}{2}）×\frac{7}{27}$=$\frac{1}{2}$，
P（X=2）=$\frac{1}{2}×\frac{7}{27}$=$\frac{7}{54}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2
P	$\frac{10}{27}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{7}{54}$

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．