Question

6．已知函数f（x）=alnx+$\frac{2x+1}{x}$（a∈R）在x=-2处的切线与直线4x-3y=0垂直．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）如存在x∈（1，+∞），使f（x）＜$\frac{m（x-1）+2}{x}$（m∈Z）成立，求m的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据f′（2）的值，求出a，从而求出函数的单调区间；
（2）问题等价于当x∈（1，+∞）时，m＞$\frac{-xlnx+2x-1}{x-1}$成立，设g（x）=$\frac{-xlnx+2x-1}{x-1}$，（x＞1），根据函数的单调性判断即可．

解答 解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{ax-1}{{x}^{2}}$，
∵f′（2）=$\frac{2a-1}{4}$=-$\frac{3}{4}$，解得：a=-1，
∴f′（x）=$\frac{-x-1}{{x}^{2}}$≤0，
∴f（x）在（0，+∞）递增；
（2）∵x∈（1，+∞），
∴f（x）＜$\frac{m（x-1）+2}{x}$?m＞$\frac{-xlnx+2x-1}{x-1}$，
即当x∈（1，+∞）时，m＞$\frac{-xlnx+2x-1}{x-1}$成立，
设g（x）=$\frac{-xlnx+2x-1}{x-1}$，（x＞1），
则g′（x）=$\frac{lnx-x}{{（x-1）}^{2}}$，
设h（x）=lnx-x，（x＞1），则h′（x）=$\frac{1}{x}$-1＜0，
∴h（x）在（1，+∞）递减，
又h（1）＜0，∴h（x）＜0，即g′（x）＜0，
∴g（x）在（1，+∞）递减，
而x→1时，g（x）→+∞，
∴不存在实数m的值，满足题意．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及切线方程问题，是一道中档题．