Question

2．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=-5+\frac{1}{2}t\end{array}$（t为参数）．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{3}$cosθ．
（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明它表示什么曲线；
（Ⅱ）若P是直线l上的一点，Q是曲线C上的一点，当|PQ|取得最小值时，求P的直角坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由ρ=2$\sqrt{3}$cosθ，得ρ²=2$\sqrt{3}$ρcosθ，利用ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，即可得到直角坐标方程．
（II）由题设条件知，|PQ|+|QC|≥|PC|，当且仅当P，Q，C三点共线时，等号成立，即|PQ|≥|PC|-$\sqrt{3}$，可得：|PQ|_min=|PC|_min-$\sqrt{3}$．设P（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，-5+$\frac{1}{2}$t），又C（$\sqrt{3}$，0），利用两点之间的距离公式、二次函数的单调性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由ρ=2$\sqrt{3}$cosθ，得ρ²=2$\sqrt{3}$ρcosθ，从而有x²+y²=2$\sqrt{3}$x，
∴（x-$\sqrt{3}$）²+y²=3．
∴曲线C是圆心为（$\sqrt{3}$，0），半径为$\sqrt{3}$的圆．
（Ⅱ）由题设条件知，|PQ|+|QC|≥|PC|，当且仅当P，Q，C三点共线时，等号成立，
即|PQ|≥|PC|-$\sqrt{3}$，∴|PQ|_min=|PC|_min-$\sqrt{3}$．
设P（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，-5+$\frac{1}{2}$t），又C（$\sqrt{3}$，0），
则|PC|=$\sqrt{（-\frac{\sqrt{3}}{2}t-\sqrt{3}）^{2}+（-5+\frac{1}{2}t）^{2}}$=$\sqrt{{t}^{2}-2t+28}$=$\sqrt{（t-1）^{2}+27}$．
当t=1时，|PC|取得最小值，从而|PQ|也取得最小值，
此时，点P的直角坐标为（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{9}{2}$）．

点评 本题考查了极坐标化为直角坐标方程、直线参数方程的应用、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．