Question

19．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^2}-x，-1≤x≤0\\ ln（{x+1}）.0＜x≤4\end{array}$，若g（x）=f（x）-k（x+1）有3个不同的零点，则实数k的取值范围是$[{\frac{ln5}{5}，\frac{1}{e}}）$．

Answer 1

分析 由y=f（x）-k（x+1）=0得f（x）=k（x+1），设y=f（x），y=k（x+1），然后作出图象，利用数形结合的思想确定实数k的取值范围．

解答 解：y=f（x）-k（x+1）=0得f（x）=k（x+1），
设y=f（x），y=k（x+1），在同一坐标系中作出函数y=f（x）和y=k（x+1）的图象如图：
因为-1≤x≤0时，函数f（x）=x²-x单调递减，且f（x）＞0．
因为f（4）=ln5，即B（4，ln5）．
当直线y=k（x+1）经过点B时，两个函数有3个交点，满足条件．
此时ln5=5k，则k=$\frac{ln5}{5}$，
由图象可以当直线y=k（x+1）与f（x）=ln（x+1）相切时，函数y=f（x）-k（x+1）
有两个零点．
设切点为（a，ln（a+1）），则函数的导数f′（x）=$\frac{1}{x+1}$，切线斜率k=$\frac{1}{a+1}$，
则切线方程为y-ln（a+1）=$\frac{1}{a+1}$（x-a），
即y=$\frac{1}{a+1}$x$\frac{1}{a+1}$+ln（a+1），
∵y=k（x+1）=kx+k，
∴-$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{a+1}}\\{ln（a+1）-\frac{a}{a+1}=k}\end{array}\right.$得a=e-1，k=$\frac{1}{e-1+1}$=$\frac{1}{e}$．
所以要使函数y=f（x）-k（x+1）有三个零点，
则$\frac{ln5}{5}$≤k＜$\frac{1}{e}$．
故答案为：$[{\frac{ln5}{5}，\frac{1}{e}}）$．

点评 本题综合考查了函数的零点问题，利用数形结合的思想是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．